Comprendre le théorème de Pythagore : Leçon gratuite et vidéos

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Au collège, le théorème de Pythagore est sans doute l’une des notions les plus importantes en maths, tout comme le théorème de Thalès !
Il est au programme de quatrième et tu le retrouveras certainement au brevet des collèges
Il est donc essentiel de le comprendre et de savoir l’utiliser pour résoudre les problèmes de géométrie.
Alors le théorème de Pythagore, c’est quoi ?
Lis cet article, écoute les vidéos et apprends le premier théorème de ta scolarité sans aucune difficulté !


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Avant de comprendre le théorème…

La première chose à savoir est que le théorème de Pythagore ne s’applique que pour le triangle rectangle.Triangle rectanglePour rappel :

  • Un triangle est dit “rectangle” s’il possède un angle droit, c’est à dire que sa mesure est égale à 90° ;
  • Les deux côtés adjacents à cet angle sont appelés cathètes ou plus communément cotés adjacents.
  • Le coté qui se trouve en face de l’angle droit est appelé hypoténuse ;
  • Un triangle ABC est dit rectangle en C, si son angle droit se trouve au niveau du point C.

Définition du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle.
L’énoncé le plus connu du théorème de Pythagore est le suivant :

“Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.”

En nommant les sommets du triangle, le théorème s’apprend de la façon suivante.

théorème de Pythagore

Pour un triangle ABC rectangle en C, alors on peut dire que :

AB² = AC² + BC²

Avec les notations usuelles AB = c, AC = b et BC = a, la formule s’écrit :

a² + b² = c²

Voici une petite vidéo très bien faite…

A quoi sert le théorème de Pythagore ?

Dans les problèmes de géométrie au collège, le théorème de Pythagore est souvent la clé car il permet de calculer et de démontrer de nombreuses propriétés pour les triangles
Voici un récapitulatif et des exemples précis de ce que ce théorème te permettra de faire :

Calculer la longueur de l’hypoténuse

theoreme de pythagoreSi ABC est un triangle rectangle en C, et que tu connais les longueurs des cotés AC (b) et BC (a), alors pour connaitre la distance AB, tu peux utiliser le théorème de Pythagore :

AB² = BC² + AC² donc AB = √(BC² + AC²)
ou AB² = a² + b² donc AB = √(a² + b²)

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Calcul de la longueur d’un côté de l’angle droit

Pythagore-théorèmeDe la même façon, si tu connais les longueurs des cotés AC (b) et AB (c), alors tu peux calculer très facilement la distance BC, puisque d’après le théorème de Pythagore :

AB² = BC² + AC²
donc BC² = AB² AC²
on en déduit BC = √(AB² – AC²)

Voici une petite vidéo pour faire un exercice :

Prouver qu’un triangle est rectangle

Pour savoir si un triangle est rectangle, on utilise ce que l’on appelle la réciproque du théorème de Pythagore.
Souviens toi, dans le théorème de Pythagore, on partait du fait que le triangle est rectangle pour calculer la longueur de ses cotés.
Avec la réciproque du théorème de Pythagore, on va partir des longueurs du triangle pour prouver qu’il est rectangle.

La réciproque du théorème de Pythagore s’énonce de la façon suivante :

“Si dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté“.


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Exemple :
Dans le triangle ABC, si l’on connait les longueurs AB, BC et AC et que AB est la plus grande longueur, alors tu devras contrôler si :
AB² = BC² + AC² alors cela signifie que le triangle est rectangle en C et que son hypoténuse est le coté AB !

triangle-rectangle-pythagore

Voici une petite vidéo pour mettre en pratique la réciproque du théorème de Pythagore :

Prouver qu’un triangle n’est rectangle pas

Puisqu’on peut prouver qu’un triangle est rectangle alors on peut logiquement démontrer qu’il ne l’est pas…

En effet, “si dans un triangle, le carré du côté le plus long n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas un triangle rectangle.”

Si AB est le côté le plus long et AB² AC² +BC² , alors ABC n’est pas un triangle rectangle.

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